úvod
Pustené jablko spadne na zem, vyhodená lopta sa vráti a voda tečie dolu kopcom. Zem priťahuje všetko okolo seba. Rovnaká sila však drží aj Mesiac na obežnej dráhe okolo Zeme a planéty okolo Slnka. Volá sa gravitačná sila a jej pravidlo patrí k najdôležitejším zákonom prírody.
teória
Všetky telesá sa priťahujú
Gravitácia nie je výsadou Zeme. Každé dve telesá, ktoré majú hmotnosť, sa navzájom priťahujú. Priťahuje sa Zem a Mesiac, Slnko a planéty, ale aj dvaja spolužiaci alebo dve jablká na stole. Pri bežných predmetoch je však táto sila nesmierne malá. Výrazná je až vtedy, keď je aspoň jedno z telies obrovské, ako planéta alebo hviezda.
Priestor okolo telesa, v ktorom pôsobí jeho gravitačná sila, sa volá gravitačné pole. Gravitačné pole sa nedá odtieniť. Prechádza stenami, vodou aj Zemou, a tak nás Zem priťahuje rovnako na poli, v pivnici aj v lietadle.
teória
Newtonovo jablko a Mesiac
Podľa známeho príbehu Isaac Newton sedel v roku 1666 v sade pri rodnom dome, keď zo stromu spadlo jablko. Newton si vraj položil otázku, či sila, ktorá zhodila jablko, nesiaha oveľa ďalej, až k Mesiacu. Ak áno, prečo Mesiac nespadne?
Odpoveď je prekvapivá: Mesiac padá. Keby ho Zem nepriťahovala, letel by po priamke preč do vesmíru. Gravitačná sila ho však neustále stáča k Zemi, a tak sa namiesto priamky pohybuje po kružnici. Mesiac stále padá smerom k Zemi, ale zároveň letí tak rýchlo do strany, že ju vždy minie.
Newton zistil, že na Mesiac pôsobí oveľa menšia sila, ako keby bol pri povrchu Zeme. Z toho usúdil, že gravitačná sila so vzdialenosťou slabne. Svoj zákon zverejnil v roku 1687 v knihe Matematické princípy prírodnej filozofie.
teória
Gravitačné sily sú vzájomné
Zem priťahuje jablko a jablko priťahuje Zem. Obe sily sú rovnako veľké a majú opačný smer, ako hovorí zákon akcie a reakcie. Prečo teda padá jablko k Zemi, a nie Zem k jablku?
Rovnako veľká sila dá ľahkému telesu veľké zrýchlenie a ťažkému takmer žiadne. Zem je asi 10²⁵-krát hmotnejšia ako jablko, takže sa mu naproti pohne o nemerateľný kúsok. Rovnako Slnko a Zem sa priťahujú rovnako veľkými silami, ale okolo spoločného ťažiska krúži najmä Zem.
teória
Od čoho závisí gravitačná sila
Gravitačná sila medzi dvoma telesami je tým väčšia,
- čím väčšie sú ich hmotnosti: dvojnásobná hmotnosť jedného telesa znamená dvojnásobnú silu,
- čím bližšie sú pri sebe: v dvojnásobnej vzdialenosti je sila štvrtinová, v trojnásobnej deviatinová.
Sila teda neklesá so vzdialenosťou priamo úmerne, ale s jej druhou mocninou. Vyskúšaj si to na dvojiciach telies od spolužiakov až po Slnko a Zem.
vyskúšaj si
Gravitačné priťahovanie
Hmotnosť: Ema × 1
Hmotnosť: Adam × 1
Vzdialenosť stredov × 1
Ema: 50 kg, Adam: 60 kg. κ = 6,67 · 10⁻¹¹ N · m² · kg⁻².
Zdvojnásob vzdialenosť stredov a hmotnosti nechaj pôvodné. Koľkokrát sa zmenšila sila?
0 / 0Ktoré telesá sa navzájom priťahujú gravitačnou silou?
0 / 0Dvaja spolužiaci s hmotnosťou 50 kg a 60 kg, ktorí sedia meter od seba, sa priťahujú silou asi 0,000 000 2 N. To je menej ako tiaž zrnka prachu, a preto ju nikdy nezbadáme. Zem priťahuje každého z nich silou okolo 500 N, lebo má obrovskú hmotnosť.
Zapamätaj si: všetky telesá sa navzájom priťahujú gravitačnou silou. Sily na obe telesá sú rovnako veľké a opačného smeru. Sila rastie s hmotnosťami telies a klesá so vzdialenosťou, v dvojnásobnej vzdialenosti je štvrtinová.
Gravitačný zákon vo vzorci
Newtonov gravitačný zákon hovorí: dve telesá s hmotnosťami m₁ a m₂, ktorých stredy sú vo vzdialenosti r, sa priťahujú rovnako veľkými silami opačného smeru. Veľkosť každej z nich je
F = κ · m₁ · m₂ : r²
Číslo κ (kappa) je gravitačná konštanta:
κ = 6,67 · 10⁻¹¹ N · m² · kg⁻²
Vo svete sa gravitačná konštanta často označuje písmenom G. My ju budeme písať ako κ, lebo písmeno G v slovenských učebniciach patrí tiaži telesa.
Zákon platí presne pre hmotné body, teda telesá veľmi malé oproti ich vzdialenosti, a pre guľové telesá. Guľa pôsobí navonok tak, akoby celá jej hmotnosť bola sústredená v jej strede, aj keď je vo vnútri hustejšia ako na povrchu. Preto pri Zemi, Mesiaci alebo Slnku meriame vzdialenosť medzi stredmi. Na teleso na povrchu Zeme pôsobí sila, akoby bolo od stredu Zeme vzdialené o polomer Zeme, asi 6 371 km.
Príklad. Akou silou sa priťahuje Zem (5,97 · 10²⁴ kg) a Mesiac (7,35 · 10²² kg), ak ich stredy sú vo vzdialenosti 384 400 km?
F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 5,97 · 10²⁴ · 7,35 · 10²² : (3,844 · 10⁸)² N ≈ 2,0 · 10²⁰ N
Táto obrovská sila drží Mesiac na obežnej dráhe. Dve olovené gule s hmotnosťou 1 kg, ktorých stredy sú 1 m od seba, sa naproti tomu priťahujú silou len 6,67 · 10⁻¹¹ N. Takú silu bežnými prístrojmi nezmeriame.
Ako Newton overil zákon na Mesiaci
Mesiac je od stredu Zeme asi 60-krát ďalej ako jablko na jej povrchu. Ak sila klesá s druhou mocninou vzdialenosti, Zem mu musí udeľovať zrýchlenie 60² = 3 600-krát menšie ako jablku:
a = 9,8 m/s² : 3 600 ≈ 0,0027 m/s²
Mesiac obehne Zem raz za 27,3 dňa po kružnici s polomerom 384 000 km. Jeho dostredivé zrýchlenie vychádza a = 4π² · r : T² ≈ 0,0027 m/s². Obe čísla sa zhodujú. Za jednu sekundu Mesiac takto „spadne“ k Zemi asi o 1,4 mm, práve toľko, aby ostal na kruhovej dráhe.
rozšírenie Gravitácia podľa Einsteina
Newtonov zákon výborne funguje pre jablká, družice aj planéty. V roku 1915 však Albert Einstein ukázal, že gravitácia je v skutočnosti zakrivenie priestoru a času hmotnými telesami. Rozdiely oproti Newtonovi sú malé, ale merateľné. Hodiny na družiciach GPS idú v slabšom gravitačnom poli rýchlejšie asi o 45 mikrosekúnd za deň a pre rýchly pohyb pomalšie asi o 7 mikrosekúnd. Bez opravy o 38 mikrosekúnd za deň by navigácia ukazovala polohu chybne o viac ako 10 km denne.
teória
Časté chyby
- „Vo vesmíre gravitácia nepôsobí.“ Pôsobí všade, len so vzdialenosťou slabne. Drží Mesiac pri Zemi a Zem pri Slnku.
- „Zem priťahuje jablko väčšou silou ako jablko Zem.“ Sily sú rovnako veľké. Líšia sa len zrýchlenia, ktoré telesám udelia.
- „V dvojnásobnej vzdialenosti je sila polovičná.“ Je štvrtinová, lebo sila klesá s druhou mocninou vzdialenosti.
- „Vzdialenosť sa meria medzi povrchmi telies.“ Pri guľových telesách sa meria medzi ich stredmi.
Ako sa dá taká nepatrná sila predsa len zmerať a ako sa z nej dá odvážiť celá Zem, ukazuje ďalšia lekcia Cavendishov pokus: ako odvážiť Zem.