úvod
Newton vedel, že sila medzi telesami rastie s ich hmotnosťami a klesá so štvorcom vzdialenosti. Nevedel však, aká je presne veľká, lebo nepoznal gravitačnú konštantu. Kým ju nikto nezmeral, nikto nevedel ani to, koľko váži Zem. Na to bolo treba zmerať gravitačnú silu medzi dvoma telesami, ktorých hmotnosť poznáme.
teória
Sila menšia ako tiaž zrnka prachu
Dve olovené gule s hmotnosťou po 1 kg, ktorých stredy sú 10 cm od seba, sa priťahujú silou asi 0,000 000 007 N. Žiadne obyčajné váhy ani silomer takú silu nezaznamenajú. Viac by s nimi pohol prievan, otras od auta na ulici alebo teplý vzduch od ruky.
Henry Cavendish (1731 až 1810) bol plachý anglický vedec, ktorý takmer nechodil medzi ľudí, ale bol neobyčajne presný experimentátor. Prístroj, ktorým sa dala taká malá sila zmerať, navrhol jeho priateľ John Michell. Ten však zomrel skôr, ako ho stihol použiť. Cavendish ho dokončil a v roku 1798 s ním urobil meranie, ktoré sa dodnes volá Cavendishov pokus.
teória
Torzné váhy
Srdcom prístroja je tenké vlákno, na ktorom visí vodorovná tyčinka s dvoma malými olovenými guľami na koncoch. Vedľa nich stoja dve veľké olovené gule. Cavendishove malé gule mali 0,73 kg a veľké 158 kg.
Veľké gule priťahujú malé, a tak sa tyčinka trochu pootočí a vlákno sa zakrúti. Zakrútené vlákno sa bráni ako pružina. Tyčinka sa zastaví v polohe, kde sa moment gravitačných síl a moment zakrúteného vlákna vyrovnajú. Čím tenšie vlákno, tým menšia sila ho zakrúti. Preto sa takýmto váham hovorí torzné, podľa slova torzia, čiže skrútenie.
Pootočenie je nepatrné, koniec tyčinky sa posunie len o niekoľko milimetrov. Cavendish ho preto sledoval ďalekohľadom cez otvor v stene. Do miestnosti počas merania nevstupoval, aby teplo jeho tela nerozvírilo vzduch okolo váh.
Dnešné školské torzné váhy majú na vlákne malé zrkadielko. Laserový lúč sa od neho odráža na stupnicu niekoľko metrov ďaleko. Keď sa zrkadielko pootočí, bodka na stupnici sa posunie o centimetre a dá sa ľahko odčítať.
teória
Ako prebieha meranie
Veľké gule sa najprv postavia na jednu stranu a čaká sa, kým sa tyčinka ustáli. Potom sa gule preložia na druhú stranu, takže ťahajú malé gule opačným smerom. Tyčinka sa začne pomaly kývať okolo novej rovnovážnej polohy. Jeden kmit trvá aj 10 minút a celé meranie hodinu či dve.
Z merania potrebujeme dve čísla:
- posun bodky ΔS medzi rovnovážnou polohou pred preložením gúľ a po ňom,
- periódu kmitov T, ktorá prezradí, aké tuhé je vlákno.
Vyskúšaj si to. Čas v simulácii beží 60-krát rýchlejšie, takže jeden kmit trvá asi 10 sekúnd.
vyskúšaj si
Cavendishove torzné váhy
Veľké gule M = 1,5 kg, rameno malých gúľ d = 5 cm, vzdialenosť stredov gúľ b = 4,65 cm, stupnica D = 5 m od zrkadielka, tenké vlákno.
Krok 1 zo 4: Prelož veľké gule na druhú stranu a počkaj, kým sa kmity utíšia. O koľko centimetrov sa posunula rovnovážna poloha bodky? To je ΔS.
0 / 0Veľké čísla môžeš písať aj ako 6,7e-11 alebo 6e24.
Prečo bolo také ťažké zmerať gravitačnú konštantu?
0 / 0teória
Váženie Zeme
Keď poznáme gravitačnú konštantu, hmotnosť Zeme vypočítame z toho, ako rýchlo padajú telesá pri jej povrchu. Gravitačné zrýchlenie na povrchu je asi 9,8 m/s², polomer Zeme 6 371 km. Z toho vyjde hmotnosť Zeme asi 6 · 10²⁴ kg, teda šesť kvadriliónov kilogramov.
Keď hmotnosť vydelíme objemom Zeme, dostaneme jej priemernú hustotu asi 5,5 g/cm³. Bežné horniny na povrchu majú pritom len okolo 2,7 g/cm³. Vnútro Zeme teda musí byť oveľa hustejšie ako jej povrch. Dnes vieme, že v strede Zeme je jadro zo železa a niklu s hustotou 10 až 13 g/cm³. Cavendish túto hustotu určil už v roku 1798 a jeho číslo sa od dnešného líši len asi o 1 %.
Zapamätaj si: gravitačná sila medzi bežnými telesami je nepatrná. Zmeral ju až Henry Cavendish v roku 1798 na torzných váhach, kde veľké olovené gule priťahujú malé a zakrúcajú tenké vlákno. Z výsledku sa dá vypočítať hmotnosť Zeme, asi 6 · 10²⁴ kg, a jej priemerná hustota, asi 5,5 g/cm³.
Výpočet gravitačnej konštanty
Malé gule s hmotnosťou m sú na ramenách dĺžky d. Veľká guľa s hmotnosťou M, ktorej stred je vo vzdialenosti b od stredu malej gule, ju priťahuje silou F = κ · M · m : b². Obe dvojice gúľ tak na tyčinku pôsobia momentom sily
2 · F · d = 2 · κ · M · m · d : b²
Zakrútené vlákno pôsobí opačným momentom k · φ, kde k je jeho torzná tuhosť a φ uhol pootočenia. V rovnováhe sú oba momenty rovnaké. Torznú tuhosť zistíme z periódy kmitov T = 2π · √(I : k), kde I = 2 · m · d² je moment zotrvačnosti tyčinky s guľami.
Pri preložení veľkých gúľ sa rovnovážny uhol zmení o 2φ a odrazený lúč sa odkloní o dvojnásobok, teda o 4φ. Bodka na stupnici vo vzdialenosti D sa posunie o ΔS = 4φ · D. Po dosadení a úprave vyjde vzťah, do ktorého stačí dosadiť namerané ΔS a T:
κ = π² · b² · d · ΔS : (M · T² · D)
Hmotnosť m malých gúľ sa vo výsledku vykráti. Z gravitačného zrýchlenia pri povrchu Zeme potom vyjde jej hmotnosť:
g = κ · MZ : R², a teda MZ = g · R² : κ
MZ = 9,81 · (6,371 · 10⁶)² : 6,67 · 10⁻¹¹ kg ≈ 5,97 · 10²⁴ kg
Rovnako sa dajú „odvážiť“ aj iné telesá. Stačí poznať zrýchlenie pri ich povrchu alebo pohyb mesiaca, ktorý okolo nich obieha.
rozšírenie Najhoršie známa konštanta prírody
Rýchlosť svetla poznáme presne, náboj elektrónu na desať platných číslic. Gravitačnú konštantu však len na štyri až päť: κ = 6,674 30 · 10⁻¹¹ N · m² · kg⁻² s neistotou na piatej číslici. Gravitačné sily v laboratóriu sú totiž také slabé, že ich rušia nepatrné otrasy, teplota aj nerovnomerná hustota gúľ. Výsledky rôznych laboratórií sa navyše líšia viac, ako by mali, a fyzici dodnes hľadajú prečo.
teória
Časté chyby
- „Gravitačná sila pôsobí len medzi planétami.“ Pôsobí aj medzi olovenými guľami, len je nepatrná. Cavendish ju zmeral.
- „Hmotnosť Zeme sa určila vážením hornín.“ Vypočítala sa z gravitačnej konštanty, zrýchlenia g a polomeru Zeme.
- „Zem je všade rovnako hustá ako horniny na povrchu.“ Priemerná hustota je takmer dvakrát väčšia, vo vnútri je hustejšie železné jadro.
- „Vo vzťahu M = g · R² : κ je R vzdialenosť od povrchu.“ R je polomer Zeme, vzdialenosť povrchu od stredu.
Aké zrýchlenie udeľuje gravitačná sila telesám v rôznej výške nad Zemou a na iných planétach, ukazuje ďalšia lekcia Gravitačné zrýchlenie a gravitačné pole.