Tvary orbitálov s a p

V lekcii Orbitály a kvantové čísla sme si povedali, že orbitál je oblasť, v ktorej sa elektrón nachádza s najväčšou pravdepodobnosťou. Teraz to spresníme.

Stav elektrónu v atóme opisuje matematická funkcia, ktorú nazývame vlnová funkcia a označujeme gréckym písmenom $\psi$ (psí). Získa sa riešením Schrödingerovej rovnice, ktorou sa na strednej škole zaoberať nemusíme. Stačí vedieť dve veci:

• Orbitál je vlastne vlnová funkcia jedného elektrónu. Každej trojici kvantových čísel $n$, $l$, $m$ zodpovedá jedna vlnová funkcia.
• Samotná hodnota $\psi$ nemá priamy fyzikálny význam a môže byť kladná aj záporná. Význam má jej druhá mocnina $|\psi|^2$, ktorá udáva hustotu pravdepodobnosti: pravdepodobnosť, že elektrón nájdeme v malom objeme okolo daného bodu.

Predstav si, že by sme polohu elektrónu zmerali tisíckrát za sebou a všetky výsledky zakreslili ako bodky do jedného obrázka. Vznikol by elektrónový oblak: hustý tam, kde je $|\psi|^2$ veľké, a riedky tam, kde je malé.

Elektrónový oblak nemá ostrý okraj. Smerom od jadra postupne rednie, ale teoreticky siaha do nekonečna. Aby sa dal orbitál nakresliť, zvolí sa plocha, na ktorej má $|\psi|^2$ všade rovnakú hodnotu a ktorá uzatvára približne 90 % pravdepodobnosti výskytu elektrónu. Tejto ploche hovoríme hraničná plocha. Práve ju vidíš na obrázkoch v učebniciach ako guľu, činku alebo štvorlístok. Elektrón môže byť aj mimo nej, je to však málo pravdepodobné.

3D model pod textom vie orbitál zobraziť oboma spôsobmi. V predvolenom režime „balóny“ ukazuje hraničné plochy, v režime „bodky“ elektrónový oblak, v ktorom hustota bodiek zodpovedá hodnote $|\psi|^2$. Orbitály môžeš otáčať myšou a prepínať medzi nimi. Oplatí sa pri čítaní vyskúšať obe zobrazenia.

Orbitál s ($l = 0$) je guľovo symetrický. Hustota pravdepodobnosti závisí len od vzdialenosti $r$ od jadra, nie od smeru. S rastúcim $n$ je orbitál s väčší a elektrón v ňom má vyššiu energiu:

$$1s < 2s < 3s < 4s \dots$$

Hustota pravdepodobnosti a radiálne rozdelenie

Pri orbitáli 1s platí zaujímavý paradox. Hustota pravdepodobnosti $|\psi|^2$ je najväčšia priamo v jadre a so vzdialenosťou klesá. Napriek tomu je najpravdepodobnejšia vzdialenosť elektrónu od jadra až 0,053 nm. Ako je to možné?

Pýtame sa totiž na dve rôzne veci. Hustota pravdepodobnosti hovorí, aká je pravdepodobnosť výskytu v malej kocke okolo jedného bodu. Ak sa však pýtame, v akej vzdialenosti od jadra je elektrón najčastejšie, musíme sčítať všetky body s touto vzdialenosťou, teda celú tenkú guľovú vrstvu s polomerom $r$. Jej povrch je $4\pi r^2$ a s rastúcim $r$ rýchlo rastie. Pravdepodobnosť výskytu vo vrstve preto opisuje radiálne rozdelenie pravdepodobnosti:

$$P(r) = 4\pi r^2 \cdot |\psi|^2$$

Pri jadre je $|\psi|^2$ najväčšie, ale vrstva je nekonečne malá. Ďaleko od jadra je vrstva obrovská, ale $|\psi|^2$ je takmer nulové. Súčin má maximum pri $r = 0{,}053$ nm. Táto hodnota sa nazýva Bohrov polomer $a_0$, pretože presne rovnaký polomer mala prvá dráha elektrónu v staršom Bohrovom modeli atómu vodíka.

Radiálne uzly

Orbitál 2s nie je len „nafúknutý“ orbitál 1s. V určitej vzdialenosti od jadra má guľovú plochu, na ktorej je $\psi = 0$, a teda aj pravdepodobnosť výskytu elektrónu je nulová. Takúto plochu nazývame radiálny uzol (guľový uzol). Vlnová funkcia na nej mení znamienko: vnútri je napríklad kladná, zvonku záporná. Orbitál 2s si môžeš predstaviť ako malú guľu vo vnútri väčšej guľovej škrupiny.

$$\text{počet radiálnych uzlov} = n - l - 1$$

• 1s: $1 - 0 - 1 = 0$, žiadny radiálny uzol,
• 2s: $2 - 0 - 1 = 1$, jeden radiálny uzol,
• 3s: $3 - 0 - 1 = 2$, dva radiálne uzly.

Radiálne rozdelenie orbitálu 2s má preto dve maximá (malé blízko jadra a veľké ďalej od neho) a orbitál 3s tri maximá. Na bežných obrázkoch uzly nevidno, pretože hraničná plocha ukazuje len vonkajší povrch. Ukáže ich až rez orbitálom alebo zobrazenie bodkami.

Orbitál p ($l = 1$) má dva laloky na opačných stranách jadra. Orbitály p existujú od vrstvy $n = 2$ a v každej vrstve sú tri ($m = -1, 0, +1$). Sú navzájom kolmé a smerujú pozdĺž osí súradnicovej sústavy, preto ich označujeme $p_x$, $p_y$ a $p_z$. V izolovanom atóme majú všetky tri rovnakú energiu (sú degenerované), líšia sa len orientáciou.

Uhlové uzly

Medzi lalokmi prechádza jadrom uzlová rovina, v ktorej je $\psi = 0$. Je kolmá na os orbitálu:

Orbitál	os lalokov	uzlová rovina
$p_x$	x	yz
$p_y$	y	xz
$p_z$	z	xy

Uzlová rovina je príkladom uhlového uzla, ktorý závisí od smeru, nie od vzdialenosti. Ich počet sa rovná vedľajšiemu kvantovému číslu:

$$\text{počet uhlových uzlov} = l$$

Orbitál s teda uhlový uzol nemá a elektrón s môže byť aj v jadre (hustota tam nie je nulová). Elektrón p má v jadre nulovú hustotu pravdepodobnosti.

Možno sa pýtaš, ako sa elektrón dostane z jedného laloku do druhého, keď cez uzlovú rovinu prejsť nemôže. Otázka vychádza z predstavy elektrónu ako guličky. Elektrón je však opísaný vlnou, ktorá zaberá oba laloky naraz, a nikam „necestuje“.

2p a 3p

Orbitál 3p má rovnaký uhlový tvar ako 2p, ale je väčší a má vyššiu energiu. Navyše má jeden radiálny uzol ($3 - 1 - 1 = 1$), takže každý jeho lalok je vnútri rozdelený na menšiu vnútornú a väčšiu vonkajšiu časť s opačným znamienkom. Orbitál 4p má už dva radiálne uzly.

Vlnová funkcia má v rôznych častiach orbitálu rôzne znamienko. Pri orbitáli p je v jednom laloku kladná (+), v druhom záporná (−), a hovoríme, že laloky majú opačnú fázu. Pripomína to vlnu na vode: hrebeň je nad hladinou, dolina pod ňou a v mieste, kde vlna pretína hladinu, je uzol.

Pozor, znamienko fázy nemá nič spoločné s nábojom. Elektrón je záporný v celom orbitáli a pravdepodobnosť $|\psi|^2$ je v oboch lalokoch rovnaká. V 3D modeli si môžeš zapnúť farbenie fázy: kladná časť sa zafarbí modro, záporná oranžovo. Skús to pri orbitáloch 2s a 3p, kde sa znamienko mení aj na radiálnych uzloch.

Prečo na fáze záleží? Keď sa atómy priblížia a ich orbitály sa prekryjú, vlnové funkcie sa skladajú podobne ako vlny:

• prekryv častí s rovnakou fázou (+ s +, alebo − s −): vlny sa sčítajú, medzi jadrami vzrastie elektrónová hustota a vzniká väzbový orbitál,
• prekryv častí s opačnou fázou: vlny sa odčítajú, medzi jadrami vznikne uzol a orbitál je antiväzbový.

Preto napríklad orbitál s môže vytvoriť väzbu s lalokom orbitálu $p_z$ smerujúcim k nemu, ale nie s orbitálom $p_x$ kolmým na spojnicu jadier: kladný aj záporný lalok $p_x$ by sa s orbitálom s prekrývali rovnako a účinky by sa navzájom zrušili. Viac sa dozvieš v lekcii Hybridizácia orbitálov.

Ak sčítame radiálne a uhlové uzly, dostaneme jednoduchý vzťah:

$$(n - l - 1) + l = n - 1$$

V atóme vodíka (jeden elektrón) závisí energia orbitálu len od $n$. Orbitály 2s a 2p majú rovnakú energiu, rovnako 3s, 3p a 3d.

V atómoch s viacerými elektrónmi to už neplatí. Vonkajší elektrón je odpudzovaný vnútornými elektrónmi, ktoré ho tienia pred jadrom, takže naň pôsobí len efektívny náboj jadra, menší ako skutočný. Miera tienenia závisí od tvaru orbitálu. Radiálne rozdelenie orbitálu 2s má malé maximum blízko jadra, vnútri oblasti elektrónov 1s. Hovoríme, že elektrón 2s preniká k jadru viac ako elektrón 2p (ten má pri jadre nulovú hustotu). Elektrón 2s je preto menej tienený, silnejšie priťahovaný a má nižšiu energiu:

$$E(2s) < E(2p) \qquad E(3s) < E(3p) < E(3d)$$

Schopnosť prenikať klesá v poradí s > p > d > f. To je dôvod, prečo sa podvrstvy zapĺňajú v poradí, ktoré preberieme v lekcii Pravidlá zapĺňania orbitálov.

Orbitál	n	l	radiálne uzly	uhlové uzly	spolu
1s	1	0	0	0	0
2s	2	0	1	0	1
3s	3	0	2	0	2
2p	2	1	0	1	1
3p	3	1	1	1	2
4p	4	1	2	1	3

Orbitály s a p stačia na opis prvkov prvých troch periód. Pre ďalšie prvky potrebujeme aj zložitejšie tvary, ktoré nájdeš v lekcii Orbitály d a f.