úvod
Kameň hodený vodorovne dopadne niekoľko metrov ďaleko. Hodíme ho rýchlejšie a dopadne ďalej. Isaac Newton sa spýtal, čo by sa stalo, keby sme strieľali stále rýchlejšie. Jeho myšlienkový pokus vysvetľuje, prečo Mesiac a umelé družice obiehajú Zem.
teória
Guľa, ktorá nikdy nedopadne
Predstav si delo na vrchole hory vysokej stovky kilometrov, kde už nie je vzduch. Delo strieľa vodorovne. Pri malej rýchlosti guľa dopadne kúsok od hory. Pri väčšej dopadne ďalej a jej dráha sa zakriví spolu s povrchom Zeme. Keď je rýchlosť dosť veľká, guľa síce stále padá, ale povrch Zeme sa pod ňou zakrivuje rovnako rýchlo. Guľa nikdy nedopadne a vráti sa k delu zo zadu. Stala sa z nej družica.
Čísla sú jednoduché. Za prvú sekundu voľného pádu spadne teleso asi o 5 m. Povrch Zeme sa zakriví o 5 m nadol na vzdialenosť asi 8 km. Teleso, ktoré letí vodorovne rýchlosťou asi 8 km za sekundu, teda za každú sekundu klesne práve o toľko, o koľko sa pod ním zakriví Zem.
teória
Prvá kozmická rýchlosť
Rýchlosť, pri ktorej teleso obieha Zem po kružnici tesne nad jej povrchom, je prvá kozmická rýchlosť:
v₁ ≈ 7,9 km/s, teda asi 28 400 km/h
Taká družica by obehla Zem za 84 minút. Vyššie nad Zemou je gravitácia slabšia, a tak na kruhovú dráhu stačí menšia rýchlosť. Vesmírna stanica vo výške 400 km letí rýchlosťou 7,7 km/s a obeh jej trvá 92 minút.
teória
Elipsa a únik
Ak dáme guli viac ako kruhovú rýchlosť, vzdiali sa od Zeme a vráti sa po elipse. Bod dráhy najbližšie k Zemi sa volá perigeum, najvzdialenejší apogeum. Čím je rýchlosť väčšia, tým je elipsa pretiahnutejšia.
Pri rýchlosti asi 11,2 km/s sa elipsa už neuzavrie. Teleso sa od Zeme vzďaľuje natrvalo a nevráti sa. Táto rýchlosť sa volá úniková alebo druhá kozmická rýchlosť. Teleso tak unikne zo Zeme, ale ostane v gravitačnom poli Slnka a stane sa jeho družicou, ako sondy letiace k Marsu. Aby opustilo celú slnečnú sústavu, potrebuje pri Zemi asi 16,7 km/s, tretiu kozmickú rýchlosť.
vyskúšaj si
Newtonovo delo
Vo výške 300 km: kruhová rýchlosť 7,73 km/s, úniková 10,93 km/s. Odpor vzduchu ani otáčanie Zeme neuvažujeme.
Vystreľ guľu tak, aby dopadla na Zem aspoň 20 000 km od veže.
0 / 0Čo sa stane s delovou guľou, ktorú vystrelíme vodorovne väčšou a väčšou rýchlosťou?
0 / 0teória
Prečo rakety štartujú na východ
Zem sa otáča od západu na východ a jej povrch na rovníku sa pohybuje rýchlosťou asi 465 m/s. Raketa, ktorá štartuje na východ, túto rýchlosť dostane zadarmo a potrebuje menej paliva. Preto sú kozmodrómy čo najbližšie k rovníku. Európske rakety štartujú z Kourou vo Francúzskej Guyane, len 5° od rovníka.
Zapamätaj si: družica na obežnej dráhe neustále padá, ale letí tak rýchlo, že Zem stále minie. Na kruhovú dráhu tesne nad Zemou treba prvú kozmickú rýchlosť 7,9 km/s, na únik zo Zeme druhú kozmickú rýchlosť 11,2 km/s. Medzi nimi letí teleso po elipse.
Prečo sú astronauti na obežnej dráhe v beztiažovom stave, ukazuje lekcia Tiaž a beztiažový stav.
Kruhová rýchlosť
Družica s hmotnosťou m obieha Zem po kružnici s polomerom r = R + h. Gravitačná sila Zeme je pre ňu dostredivou silou:
m · v² : r = κ · m · M : r²
Po úprave dostaneme kruhovú rýchlosť
v = √(κ · M : r)
Nezávisí od hmotnosti družice a s rastúcou výškou klesá. Tesne nad povrchom (r = R) a s g = κ · M : R² je to prvá kozmická rýchlosť:
v₁ = √(κ · M : R) = √(g · R) = √(9,82 · 6,371 · 10⁶) m/s ≈ 7,9 km/s
Obežná doba družice je dĺžka dráhy vydelená rýchlosťou:
T = 2π · r : v = 2π · √(r³ : (κ · M))
Pre r = R vyjde T ≈ 5 060 s ≈ 84 min. Rovnaký čas sme dostali v lekcii Tiažové zrýchlenie a otáčanie Zeme pre deň, pri ktorom by na rovníku nastal beztiažový stav. Nie je to náhoda: v oboch prípadoch je odstredivé zrýchlenie rovné gravitačnému.
Úniková rýchlosť
Dá sa ukázať, že teleso unikne z gravitačného poľa, keď jeho pohybová energia aspoň vyrovná prácu potrebnú na vzdialenie do nekonečna, κ · M · m : r. Z rovnosti ½ · m · v² = κ · M · m : r vyjde úniková (parabolická) rýchlosť
vp = √(2κ · M : r) = √2 · v
Pri povrchu Zeme je vp = √2 · 7,9 km/s ≈ 11,2 km/s. Teleso s takou rýchlosťou sa vzďaľuje po parabole, s ešte väčšou po hyperbole. Pri rýchlosti medzi kruhovou a únikovou letí po elipse, ktorej perigeum je v mieste výstrelu.
rozšírenie Keď ani svetlo neunikne
Úniková rýchlosť rastie, keď sa teleso pri rovnakej hmotnosti zmenší. Keby sme Zem stlačili do guľôčky s polomerom asi 9 mm, úniková rýchlosť z jej povrchu by presiahla rýchlosť svetla. Nič, ani svetlo, by z nej neuniklo. Takému telesu hovoríme čierna diera. Pre Slnko by bol tento polomer asi 3 km. Skutočné čierne diery vznikajú, keď sa zrúti jadro veľmi hmotnej hviezdy, a v strede našej Galaxie je jedna so 4 miliónmi hmotností Slnka.
teória
Časté chyby
- „Na obežnej dráhe družica nepotrebuje gravitáciu.“ Práve gravitácia ju drží na dráhe. Bez nej by uletela po priamke.
- „Ťažšia družica musí letieť rýchlejšie.“ Kruhová aj úniková rýchlosť nezávisia od hmotnosti družice.
- „Teleso s únikovou rýchlosťou opustí slnečnú sústavu.“ Unikne len zo Zeme, ostane v gravitačnom poli Slnka.
- „Vyššie nad Zemou treba na obežnú dráhu väčšiu rýchlosť.“ Vyššie stačí menšia rýchlosť, lebo gravitácia je slabšia. Dostať sa tam však stojí viac energie.
Kde všade obiehajú umelé družice a na čo slúžia, ukazuje ďalšia lekcia Umelé družice Zeme.