Stavová rovnica ideálneho plynu (Chemické výpočty)

teória

Stav plynu opisujú štyri veličiny

Plyn v nádobe opíšeme štyrmi veličinami. Hovoríme im stavové veličiny:

veličina	značka	základná jednotka	bežne používame
tlak	$p$	Pa (pascal)	kPa
objem	$V$	m³	dm³ (l)
termodynamická teplota	$T$	K (kelvin)	vždy K
látkové množstvo	$n$	mol	mol

Teplotu vždy prevádzaj na kelviny: $T = t + 273{,}15$ . Pri 0 °C je $T = 273{,}15\ \text{K}$ , pri 20 °C je 293,15 K. Kelvinova stupnica začína absolútnou nulou, keď by sa častice prestali pohybovať, preto má zmysel s ňou násobiť a deliť. S teplotou v stupňoch Celzia by sme dostali nezmysly: pri 0 °C by objem plynu vyšiel nulový.

teória

Stavová rovnica

Tieto štyri veličiny spája stavová rovnica ideálneho plynu:

\boxed{pV = nRT}

$R$ je molárna plynová konštanta, $R = 8{,}314\ \text{J} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{mol}^{-1}$ . Je rovnaká pre všetky plyny, pre vodík aj pre oxid uhličitý.

Ideálny plyn je zjednodušený model: jeho častice považujeme za body, ktoré na seba nepôsobia, len do seba narážajú. Skutočné plyny sa takto správajú dobre pri bežnom a nízkom tlaku a pri nie príliš nízkej teplote. V školských úlohách ich preto pokojne považujeme za ideálne.

Ako správne dosadzovať jednotky

Jednotka J (joule) sa rovná Pa · m³. Preto môžeš dosadiť:

tlak v Pa a objem v m³, alebo
tlak v kPa a objem v dm³ (kPa · dm³ = 10³ Pa · 10⁻³ m³ = J).

Druhá možnosť je pri chemických výpočtoch pohodlnejšia, lebo s kPa a dm³ pracujeme najčastejšie. Nikdy však nemiešaj kPa s m³ ani Pa s dm³. S prevodmi pomôže lekcia Jednotky a ich prevody.

Odkiaľ sa berie 22,4 dm³

Z lekcie Látkové množstvo poznáš molárny objem plynu za normálnych podmienok $V_m = 22{,}4\ \text{dm}^3 \cdot \text{mol}^{-1}$ . Vyplýva priamo zo stavovej rovnice pre $n = 1\ \text{mol}$ , $T = 273{,}15\ \text{K}$ a $p = 101{,}325\ \text{kPa}$ :

V_m = \frac{RT}{p} = \frac{8{,}314 \cdot 273{,}15}{101{,}325} \approx 22{,}41\ \text{dm}^3 \cdot \text{mol}^{-1}

Pri izbovej teplote je molárny objem väčší, napríklad pri 25 °C a 100 kPa asi 24,8 dm³·mol⁻¹. Hodnotu 22,4 preto používaj len za normálnych podmienok, inak počítaj so stavovou rovnicou.

teória

Keď sa jedna veličina nemení

Ak máme stále to isté množstvo plynu ( $n$ je konštantné), platí $pV / T = \text{konštanta}$ , teda:

\frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2}

Ak sa počas deja nemení ešte jedna veličina, rovnica sa zjednoduší na jeden z troch známych zákonov:

dej	čo je stále	zákon	vzťah
izotermický	teplota $T$	Boylov-Mariottov	$p_1 V_1 = p_2 V_2$
izobarický	tlak $p$	Gay-Lussacov	$\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$
izochorický	objem $V$	Charlesov	$\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}$

(V niektorých zahraničných učebniciach sú mená pri izobarickom a izochorickom deji prehodené. Dôležité sú vzťahy, nie mená.)

Izotermický dej: keď stlačíš piest injekčnej striekačky so zapchatým koncom na tretinu objemu, tlak vzduchu v nej sa strojnásobí.
Izobarický dej: nafúkaný balón s objemom 3,0 dm³ pri 27 °C vlož do mrazničky s teplotou −18 °C. Jeho objem klesne na $3{,}0 \cdot 255{,}15 / 300{,}15 \approx 2{,}55\ \text{dm}^3$ .
Izochorický dej: v uzavretej plechovke spreja so zohrievaním rastie tlak. Preto je na nej varovanie, aby si ju nevystavoval teplotám nad 50 °C.

vyskúšaj si

Precvičenie

Príklad 1

Aký objem zaberajú 2,00 mol kyslíka pri teplote 25 °C a tlaku 100 kPa?

Riešenie

$T = 25 + 273{,}15 = 298{,}15\ \text{K}$ . Tlak dosadíme v kPa, objem vyjde v dm³.

V = \frac{nRT}{p} = \frac{2{,}00 \cdot 8{,}314 \cdot 298{,}15}{100} \approx 49{,}6\ \text{dm}^3

Kyslík zaberá približne 49,6 dm³.

Príklad 2

Balónik naplnený héliom má objem 5,0 dm³ pri teplote 20 °C a tlaku 101 kPa. Koľko mólov a koľko gramov hélia obsahuje ( $M(\text{He}) = 4{,}00\ \text{g/mol}$ )?

Riešenie

$T = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\ \text{K}$

n = \frac{pV}{RT} = \frac{101 \cdot 5{,}0}{8{,}314 \cdot 293{,}15} = \frac{505}{2437{,}2} \approx 0{,}207\ \text{mol}

m = n \cdot M = 0{,}207 \cdot 4{,}00 \approx 0{,}83\ \text{g}

Balónik obsahuje 0,207 mol hélia, čo je necelý gram (0,83 g).

Príklad 3

V injekčnej striekačke je 60 ml vzduchu pri tlaku 100 kPa. Koniec zapcháme prstom a piest stlačíme na 20 ml. Aký bude tlak vzduchu, ak sa teplota nezmení?

Riešenie

Teplota je stála, ide o izotermický dej:

p_2 = \frac{p_1 V_1}{V_2} = \frac{100 \cdot 60}{20} = 300\ \text{kPa}

Objem sme zmenšili trikrát, tlak sa trikrát zväčšil na 300 kPa.

Príklad 4

Plyn v uzavretej plechovke spreja má pri 20 °C tlak 300 kPa. Aký tlak bude mať, keď sa plechovka na slnku v aute zohreje na 60 °C?

Riešenie

Objem plechovky sa nemení, ide o izochorický dej. Teploty prevedieme na kelviny: $T_1 = 293{,}15\ \text{K}$ , $T_2 = 333{,}15\ \text{K}$ .

p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} = 300 \cdot \frac{333{,}15}{293{,}15} \approx 341\ \text{kPa}

Tlak stúpne asi na 341 kPa. Keby sme omylom dosadili stupne Celzia, vyšiel by trojnásobný tlak 900 kPa, čo je nezmysel.

Príklad 5

Vzorka neznámeho plynu s hmotnosťou 0,888 g zaberá pri 25 °C a tlaku 100,0 kPa objem 0,500 dm³. Vypočítaj molárnu hmotnosť plynu. O ktorý plyn môže ísť?

Riešenie

Najprv látkové množstvo:

n = \frac{pV}{RT} = \frac{100{,}0 \cdot 0{,}500}{8{,}314 \cdot 298{,}15} = \frac{50{,}0}{2478{,}8} \approx 0{,}02017\ \text{mol}

M = \frac{m}{n} = \frac{0{,}888}{0{,}02017} \approx 44{,}0\ \text{g/mol}

Molárnu hmotnosť 44,0 g/mol má napríklad oxid uhličitý CO₂ ( $12{,}01 + 2 \cdot 16{,}00 = 44{,}01\ \text{g/mol}$ ).

Príklad 6

Plyn má pri 25 °C a 100 kPa objem 10,0 dm³. Aký objem by mal za normálnych podmienok (0 °C, 101,325 kPa)? Koľko mólov plynu to je?

Riešenie

Použijeme spojený vzťah $\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}$ :

V_2 = V_1 \cdot \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} = 10{,}0 \cdot \frac{100}{101{,}325} \cdot \frac{273{,}15}{298{,}15} \approx 9{,}04\ \text{dm}^3

Za normálnych podmienok môžeme použiť molárny objem:

n = \frac{V_2}{V_m} = \frac{9{,}04}{22{,}4} \approx 0{,}404\ \text{mol}

Kontrola priamo stavovou rovnicou: $n = \dfrac{100 \cdot 10{,}0}{8{,}314 \cdot 298{,}15} \approx 0{,}403\ \text{mol}$ . Malý rozdiel spôsobuje zaokrúhlenie $V_m$ na 22,4.

teória

Časté chyby

Teplota v stupňoch Celzia. Do stavovej rovnice aj do všetkých odvodených vzťahov patrí teplota v kelvinoch.
Nesprávne jednotky tlaku a objemu. Dosadzuj buď Pa a m³, alebo kPa a dm³. Kombinácia kPa a m³ dá výsledok tisíckrát zlý.
22,4 dm³ všade. Molárny objem 22,4 dm³·mol⁻¹ platí len za normálnych podmienok. Pri inej teplote alebo inom tlaku počítaj s $pV = nRT$ .
Stupne Celzia v pomeroch. Aj vo vzťahu $V_1 / T_1 = V_2 / T_2$ musia byť teploty v kelvinoch. Zohriatie z 10 °C na 20 °C objem nezdvojnásobí.
Zabudnutá dvojatómovosť. Pri výpočte hmotnosti z látkového množstva počítaj s $M(\text{O}_2) = 32{,}00$ g/mol, nie 16,00 g/mol.

teória

Vyskúšaj si

V interaktívnom modeli pod textom je valec s piestom. Posuvníkmi nastavuješ tri z veličín $p$ , $V$ , $T$ a $n$ a štvrtú ti nástroj dopočíta zo stavovej rovnice. Môžeš zafixovať teplotu, tlak alebo objem a sledovať izotermický, izobarický a izochorický dej. V časti Počítaj ťa čakajú náhodné príklady v troch obťažnostiach, s nápovedou a s riešením krok za krokom.

Stavovú rovnicu využiješ aj pri výpočte objemu plynu, ktorý vznikne pri reakcii, v lekcii Výpočty z chemickej rovnice. Súvis objemu plynov s počtom molekúl vysvetľuje lekcia Molárny (látkový) zlomok.

Predchádzajúca lekcia: Prepočty koncentrácií. Ďalšia lekcia: Vyčíslovanie chemických rovníc a redoxné reakcie.

Stavová rovnica ideálneho plynu

Stav plynu opisujú štyri veličiny

Stavová rovnica

Ako správne dosadzovať jednotky

Odkiaľ sa berie 22,4 dm³

Keď sa jedna veličina nemení

Precvičenie

Príklad 1

Príklad 2

Príklad 3

Príklad 4

Príklad 5

Príklad 6

Časté chyby

Vyskúšaj si

Vyskúšaj si

Počítaj

Otestuj sa

Kvíz: Stavová rovnica ideálneho plynu

Chcete tento pokus naživo?