úvod
Ľudia oddávna pozorovali, ako sa Slnko, Mesiac a planéty posúvajú po oblohe. Trvalo však tisícky rokov, kým pochopili, kto okolo koho obieha a podľa akých pravidiel.
teória
Od Zeme v strede k Slnku v strede
Starovekí astronómovia vrátane Klaudia Ptolemaia verili, že Zem stojí v strede vesmíru a všetko krúži okolo nej. Pohyby planét však takto museli vysvetľovať zložitými kružnicami na kružniciach a výpočty aj tak nesedeli s pozorovaniami.
V roku 1543 vyšla kniha poľského astronóma Mikuláša Koperníka, podľa ktorej v strede je Slnko a Zem je jednou z planét, ktoré okolo neho obiehajú. Denný pohyb oblohy vysvetlil otáčaním Zeme okolo osi. Koperník si však stále myslel, že dráhy sú dokonalé kružnice.
Dánsky astronóm Tycho Brahe potom dvadsať rokov meral polohy planét presnejšie ako ktokoľvek pred ním, ešte bez ďalekohľadu. Jeho merania zdedil nemecký matematik Johannes Kepler. Roky počítal dráhu Marsu, až zistil, že nie je kruhová. Z výsledkov odvodil tri zákony, ktoré platia dodnes.
teória
Prvý Keplerov zákon: elipsy
Planéty obiehajú okolo Slnka po elipsách, ktoré sa málo líšia od kružníc. Slnko je v spoločnom ohnisku týchto elíps.
Elipsa je pretiahnutá kružnica. Má dve ohniská a Slnko je v jednom z nich, nie v strede. Bod dráhy najbližšie k Slnku sa volá perihélium (príslnie), najvzdialenejší afélium (odslnie). Zem je v perihéliu okolo 3. januára, vtedy je od Slnka 147 miliónov km. V aféliu začiatkom júla je to 152 miliónov km.
Zima teda nie je preto, že by sme boli od Slnka ďalej. Ročné obdobia spôsobuje sklon zemskej osi.
teória
Druhý Keplerov zákon: rovnaké plochy
Sprievodič planéty, spojnica planéty so Slnkom, opíše za rovnaký čas rovnako veľkú plochu.
Blízko Slnka je sprievodič krátky, a aby opísal rovnakú plochu, musí planéta za ten čas prejsť dlhší oblúk. Planéta sa preto pri Slnku pohybuje najrýchlejšie a ďaleko od neho najpomalšie. Zem letí v januári asi 30,3 km/s, v júli 29,3 km/s. Preto je zimný polrok na severnej pologuli, od jesennej po jarnú rovnodennosť, o týždeň kratší ako letný.
teória
Tretí Keplerov zákon: obežné doby
Druhé mocniny obežných dôb dvoch planét sú v rovnakom pomere ako tretie mocniny veľkých polosí ich dráh.
Čím je planéta ďalej od Slnka, tým dlhšie ho obieha. Vzdialenosti v slnečnej sústave meriame v astronomických jednotkách: 1 AU je stredná vzdialenosť Zeme od Slnka, asi 149,6 milióna km. Ak meriame vzdialenosť v AU a obežnú dobu v rokoch, pre každú planétu platí jednoducho T² = a³.
| Planéta | Stredná vzdialenosť a | Obežná doba T |
|---|---|---|
| Merkúr | 0,39 AU | 0,24 roka |
| Venuša | 0,72 AU | 0,62 roka |
| Zem | 1 AU | 1 rok |
| Mars | 1,52 AU | 1,88 roka |
| Jupiter | 5,20 AU | 11,9 roka |
| Saturn | 9,54 AU | 29,5 roka |
| Urán | 19,2 AU | 84 rokov |
| Neptún | 30,1 AU | 165 rokov |
vyskúšaj si
Keplerove zákony
Nastav výstrednosť dráhy tak, aby planéta letela v perihéliu trikrát rýchlejšie ako v aféliu.
0 / 0Po akej dráhe obiehajú planéty okolo Slnka?
0 / 0Keplerove zákony platia nielen pre planéty. Riadia sa nimi aj mesiace okolo Jupitera, Mesiac a umelé družice okolo Zeme či planéty okolo iných hviezd. Preto vyššie družice obiehajú dlhšie, ako ukázala lekcia Umelé družice Zeme.
Zapamätaj si tri Keplerove zákony: planéty obiehajú po elipsách so Slnkom v ohnisku, pri Slnku sa pohybujú najrýchlejšie a čím sú ďalej od Slnka, tým dlhšie ho obiehajú. Vzdialenosti v slnečnej sústave meriame v astronomických jednotkách, 1 AU je asi 150 miliónov km.
Tretí zákon vo vzorci
Pre dve planéty s obežnými dobami T₁, T₂ a veľkými polosami a₁, a₂ platí
T₁² : T₂² = a₁³ : a₂³
Ak druhou planétou je Zem (T₂ = 1 rok, a₂ = 1 AU), vyjde pre Jupiter s obežnou dobou 11,86 roka a₁ = ∛(11,86²) AU ≈ 5,2 AU. Zákon platí presne, ak je hmotnosť planét zanedbateľná oproti hmotnosti Slnka, čo v slnečnej sústave platí veľmi dobre.
Newton vysvetlil Keplera
Kepler zákony našiel z meraní, ale nevedel, prečo platia. Vysvetlil to až Newton gravitačným zákonom. Pre planétu na takmer kruhovej dráhe s polomerom a je gravitačná sila Slnka dostredivou silou:
κ · M · m : a² = m · 4π² · a : T²
Z toho T² : a³ = 4π² : (κ · M). Pomer je rovnaký pre všetky planéty, lebo závisí len od hmotnosti Slnka M. To je tretí Keplerov zákon. Zo vzťahu sa zároveň dá odvážiť Slnko:
M = 4π² · a³ : (κ · T²) = 4π² · (1,496 · 10¹¹)³ : (6,674 · 10⁻¹¹ · (3,156 · 10⁷)²) kg ≈ 2,0 · 10³⁰ kg
Slnko je teda asi 333 000-krát hmotnejšie ako Zem. Rovnako sa z obehu Mesiaca dá určiť hmotnosť Zeme a z obehov mesiacov hmotnosť Jupitera.
Druhý zákon vyplýva zo zákona zachovania momentu hybnosti, ktorý platí v každom centrálnom poli. Podľa zákona zachovania energie sa planéta pri približovaní k Slnku zrýchľuje, ako keď sa guľa kotúľa dolu kopcom, a pri vzďaľovaní spomaľuje. Pomer rýchlostí v perihéliu a aféliu je (1 + e) : (1 − e), kde e je výstrednosť dráhy.
rozšírenie Ďalekohľad, ktorý niesol Keplerovo meno
Vesmírny ďalekohľad Kepler v rokoch 2009 až 2018 nepretržite sledoval asi 150 000 hviezd. Hľadal nepatrné poklesy ich jasu, keď pred nimi prejde planéta. Našiel takto vyše 2 600 planét pri iných hviezdach, takzvaných exoplanét. Z toho, ako často sa pokles opakuje, astronómovia určia obežnú dobu planéty a z tretieho Keplerovho zákona jej vzdialenosť od hviezdy. Tak zistia, či by na nej mohla byť voda v kvapalnom skupenstve.
teória
Časté chyby
- „Planéty obiehajú po kružniciach so Slnkom v strede.“ Obiehajú po elipsách a Slnko je v ohnisku, nie v strede.
- „V zime je Zem ďalej od Slnka.“ V januári je k nemu najbližšie. Ročné obdobia spôsobuje sklon zemskej osi.
- „Planéta obieha stále rovnako rýchlo.“ Pri Slnku je najrýchlejšia, v aféliu najpomalšia.
- „Obežná doba rastie priamo úmerne so vzdialenosťou.“ Rastie rýchlejšie: druhá mocnina doby je úmerná tretej mocnine vzdialenosti.
Ako gravitácia Mesiaca a Slnka hýbe oceánmi na Zemi, ukazuje ďalšia lekcia Príliv a odliv.